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科研团队

复分析、动力系统与分形几何研究团队

清华大学数学科学系复分析、动力系统与分形几何研究团队,在职教师包括(按拼音顺序):

胡家信,教授,主要研究方向:分形几何、偏微分方程。

黄冠,助理教授,抓哟研究方向:动力系统、遍历论。

李铁成,副教授,主要研究方向:常微分方程、动力系统。

瞿燕辉,副教授,主要研究方向:分形几何、动力系统。

王林,助理教授,主要研究方向:哈密顿系统、动力系统。

薛金鑫,副教授,主要研究方向:动力系统、天体力学。

张广远,教授,主要研究方向:复分析、复动力系统。

章梅荣,教授,主要研究方向:动力系统、常微分方程。

张翼华,教授,主要研究方向:动力系统、遍历论。

郑建华,教授,主要研究方向:复分析、复动力系统。

该团队的研究方向覆盖复分析、动力系统、分形几何、偏微分方程、常微分方程等数学领域中的众多分支,部分成果达到或接近国际前沿水平,共出版专著3本,发表研究论文240余篇,论文发表在Ann.of Math., Acta Math.,Invent.Math. 和Comm. Pure Appl. Math. 等国际顶尖数学期刊,以及Adv. Math.,Ann. Henri Poincaré,Arch. Rational Mech. Anal.,Comm. Math. Phys.,Int. Math. Res. Not. IMRN,J. Diff. Equ.,J. Funct. Anal.,J. London Math. Soc.,Math. Ann.,Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.,SIAM J. Math. Anal.,Tran. AMS等国际著名数学期刊。上述团队成员共培养博士生23名、硕士生13名,指导博士后9名。团队成员胡家信曾获得德国洪堡研究基金、张广远曾获得教育部自然科学一等奖、章梅荣曾获得国家杰出青年基金等。同时,团队成员广泛开展国际合作,多次访问德国、法国、英国、美国、日本、意大利、西班牙、新加坡、香港等国家和地区,并受邀多次在国际主要学术会议做报告。最近几年,张翼华教授、薛金鑫副教授、王林和黄冠助理教授等陆续进入这个团代,极大地提升了本团队的研究水平、拓展了本团代的研究领域。

复分析属于数学分析的一个分支,起源19世纪或更早,研究对象是复函数。复分析在许多领域有重要应用,如代数几何、数论、分析组合学、应用数学,以及物理学(如流体力学、热力学)和工程领域(如核能、航空、机械、电子工程)等。在现代,复分析通过全纯函数的多次迭代,与分形几何深度融合(右图为著名的曼德尔布罗特(Mandelbrot)集,是一个典型的分形,它通过非常简单的2阶复多项式来实现的)。团队成员张广远教授和郑建华教授,主要从事复分析和复动力系统的研究,研究的主要内容包括:阿尔福斯(Ahlfors)覆盖曲面理论、阿尔福斯常数的确立、高维复解析动力系统周期轨道、亚纯函数理论(尤其是亚纯函数动力系统、亚纯函数值分布论)、遍历论等等。其中,张广远教授发现了黎曼球面上覆盖曲面的阿尔福斯等周不等式中的最佳常数,解决了一个长期困扰的难题,研究成果在国际顶尖数学期刊Invent. Math.(2013)上发表。

动力系统描述函数在几何空间中对于时间的依赖性,在物理学、生物、化学、工程、经济、医学有大量应用,它是混沌、数理逻辑、分叉理论等领域的核心基础(如右图是洛伦茨(Lorenz)吸引子,是由大气方程中出现的对流卷方程简化而得到的)。团队成员有李铁成副教授和章梅荣教授,主要从事该方向以及与之密切相关的常微分方程的研究,研究内容包括:环面动力系统的几乎周期运动与Birkhoff猜想、人工神经网络动力学、美式期权定价的扰动方法、保守系统的运动稳定性、特征值和动力系统量的完全连续依赖性、极值问题和最优估计、非线性微分方程的边值问题、以及具有时空间断性动力系统的遍历理论等等。

分形几何研究不规则、具有复杂结构的事物和现象,这些事物和现象通常具有确切的或统计意义上的自相似性和分数维数。分形在自然界和人类社会中无处不在,例如:海岸线、地震数据、星系分布、材料的微观表面、血管分布和肺结构、DNA 模式和股市图表等。分形几何的应用十分广泛,例如,科学家和工程师们利用分形进行信号及图像处理,构建手机天线,探测石油和地质断层等等;在医学上, 计算分形维数也可用于发现恶性细胞和肿瘤等一些非正常现象,等等。在数学上, 许多特殊集合, 如康托(Cantor)集、科赫(Koch)曲线、谢尔品斯基(Sierpinski)垫片(见右图)等, 长久以来, 被当作反常例子而归为异类。分形的引入彻底改变了人们的这种观念,那些被摒弃于欧氏几何研究之外、但具有非平凡对称性、且在实际问题中经常出现的复杂对象,正是分形研究的目标。同时,分形也存在于许多数学分支中, 如前面提到的动力系统、经典分析、微分方程、概率和随机过程、数论等等。团队成员有胡家信教授和瞿燕辉副教授,主要研究内容包括:狄氏型理论、热核估计、分形上的PDE、Sobolev型空间、位势理论、拉普拉斯算子、特征值问题、以及离散薛定谔算子的谱性质,等等。其中,胡家信教授和德国比勒菲尔德大学的Alexander Grigor’yan教授合作,对分形上的热核上界给出全新的等价刻画,论文发表在国际顶尖数学期刊Invent. Math.(2008)。同时,胡家信教授还和Grigor’yan及香港中文大学的刘家成教授合作,证明分形上热核下界可推出上界,发现并解决了人们长期忽略的一个重要问题,该文在国际顶尖数学期刊Comm. Pure Appl. Math.(2008)上发表。