按：2025年10月18日，享誉世界的科学巨匠杨振宁先生逝世，享年103岁。1988年，本文作者出于对杨振宁先生学识的景仰，赴其所在的纽约州立大学石溪分校攻读博士学位，后又与杨先生在清华成为同事，更得以亲沐教泽，受到多方指导。今杨先生仙逝，往事漫上心头，谨以此文，追思缅怀。

惊闻杨振宁先生仙逝， 我心中有无限的感慨。对我来说，杨先生就像一座巍峨的灯塔，发出的永恒光芒，照亮了我人生的道路，引领着我求学、科研、教学等方方面面。

1978年，我在读初一，“文革”结束不久，改革开放即将开始，虽然身在偏僻的山区，但我有幸得到了一套《数理化自学丛书》。那时通行的观念是“学好数理化，走遍天下也不怕”，这套书便成了我自学“数理化”的重要入口。1977年2月，《人民日报》报道了数学家杨乐、张广厚的工作，加上徐迟的报告文学作品《哥德巴赫猜想》在1978年1月发表，华罗庚、王元、陈景润等数论专家的名字开始变得家喻户晓。差不多也是那时候，我又从科普书《物理世界奇遇记》里获知爱因斯坦的工作，这激发了我对物理学的兴趣。1982年我家搬到合肥市，我在那里开始读高二。有一天我在家中一张购物包装纸上看到了质子中子不是基本粒子，而是由三个夸克组成的文字，心中感到莫名的激动。因为杨振宁先生出生于合肥，我很快就听到了他的名字，知道了他是研究基本粒子的，还听说毛主席对他说粒子是无限可分的、不可能存在不可分割的基本粒子。正是那时，我第一次听说了诺贝尔奖，还有杨振宁、李政道因为宇称不守恒的工作获奖的事情。“宇称”是个日常生活中见不到的词汇，它勾起了我的好奇心。杨、李两位先生让我知道，中国也能出伟大的物理学家。

1984年高考前，一位同学劝我读物理专业，但阅读《物理世界奇遇记》和《从一到无穷大》的经验，使我觉得应该先学好数学再去学物理。我在离家最近的中国科学技术大学读了本科。中科大的数学系的学生，数学课和力学系学生一起上，物理课和物理系学生一起上，直到上完理论力学。而且中科大除了有物理系，还有一个近代物理系。我从近代物理系的一位同学那里第一次听说了弦理论，觉得不可思议。大学的数学分析课程让我对微分几何与拓扑发生了兴趣。分专业的时候老师介绍说基础数学专业的同学是“屠龙帮”的人（源自《庄子》中朱泙漫耗尽家财三年学成屠龙技艺却发现无龙可屠的故事）。恰好我对做毫无实际应用、单纯满足好奇心的事情特别有兴趣，就选择了基础数学专业。

八十年代拓扑学中流行的是三维流形的几何拓扑和四维流形的微分拓扑。1988年的数学暑期学校正好在母校举办，我选修了忻元龙老师的Riemann几何课程和拓扑学家Casson的三维拓扑课程。虽然我读大学时许多必修课是物理课，但我像对待现在的所谓“水课”一样，觉得有个成绩就可以了。正是拓扑学将我拉到先学数学再学物理的道路上。那时我接触到Donaldson的工作，他用Yang-Mills理论研究四维流形的拓扑，对我来说这太不可思议了！微分几何中的联络曲率对应着杨先生的规范场论中的物理对象，而物理中的思想可以用来发展数学方法，这太神奇了！我也去高能物理所听过量子群方面会议的报告，知道Yang-Baxter方程在拓扑学中的扭结不变量理论中很有用。在临近大学毕业时，我明确了要出国留学，学习Yang-Mills理论相关的数学知识。我有幸考取了王宽诚项目，可以请陈省身先生写两封推荐信。我请他一封写给哈佛大学，一封写给纽约州立大学石溪分校，对于后者，陈先生说Cheeger在那里，我则回答说是因为杨振宁先生在那里。

后来我去了石溪分校，从国内带去了陈先生推荐影印的Atiyah全集前五卷。陈先生在其中文版的序言中表示，“希望这些文集不要成为书架上的装饰品，而是在年轻数学工作者的手上磨损”。我能力有限，只磨损了第五卷，这一卷的英文标题是“Gauge Theories”（规范场论）。我博士期间读的第一篇文章是Atiyah全集第五卷中的Geometry of Yang-Mills Field. 通过博士生资格考试笔试部分以后，需要在学习两方面的专业知识后经过面试才算完全通过资格考试。我向导师Claude LeBrun提出以Donaldson, Kronheimer的Geometry of four-manifolds为面试主科的考察内容，LeBrun是这本书的书评人，他认为不合适，在我坚持下，他同意以前六章作为考察内容。这本书主体是以Yang-Mills场论为基础的Donaldson理论，也是我读博期间读的第一本专著。

石溪分校的数学系和物理系在同一座大楼，地下室相连，一层二层断开，三层以上相连。一层二层是应用数学系，三层到五层是数学系，六层是杨振宁先生的研究所。杨先生永远也不会想到，他有时在电梯里碰到的、只是向他点点头未曾跟他讲话的中国学生，是他的秘密仰慕者，是因为他才来到那里留学。我也去旁听过几次杨先生讲的量子力学课。

我的博士生导师是Penrose的学生。Penrose和Atiyah都是代数几何学家Hodge的学生，因为不知道不是所有数学家都像Atiyah那么厉害，Penrose换了一个导师，跟着Todd学代数几何，后来又受朋友的影响去研究广义相对论。Penrose把代数几何思想引进到相对论研究中，提出了twistor理论。Atiyah把这个理论引进到Yang-Mills场的研究中，这正是他文集第五卷中很多文章的内容。我的博士论文是twistor理论在传统的四维流形上的半共形平坦度量的构造方面的工作，与规范场论无关。但是在我读博期间，在物理学界发生了所谓的“第二次弦论革命”。

在Atiyah的提议下，物理学家Witten将Donaldson理论与超对称Yang-Mills理论联系起来，在此基础上他提出了拓扑量子场论的概念，对相应的引力理论和超弦理论，他也提出了拓扑引力、拓扑弦理论的概念。“超对称性”是物理学家对几何学中“对称性”概念的深刻推广。物理学家发现超对称弦理论建立在丘成桐先生证明的Calabi猜想的基础上。在拓扑弦理论中，物理学家发现了镜像对称的现象，即利用Calabi-丘流形定义的两种不同的超对称弦理论可以等同起来。这种现象在物理中被称为二象性（duality）。在N=2超对称的Yang-Mills理论中，物理学家Seiberg和Witten发现了类似的二象性的现象，简单地说，就是技术性非常困难的Donaldson理论等价于技术性非常简单的Seiberg-Witten理论。后者也引发了数学中的革命，可以说是像原子弹爆炸一样摧毁了Donaldson理论。

我因为参加这方面的讨论班，写了一篇高维推广的小文章，虽然没有投稿发表，但是放到了求职申请的材料中，因而幸运地得到了我的第一份工作。也就是说，对超对称Yang-Mills理论的兴趣使我免于“毕业即失业”。

我的博士后导师John Douglas Moore是一位子流形方面的专家，他的愿望是将Seiberg-Witten理论引进到子流形理论的研究中。我对子流形理论既无兴趣，也无基础，我比较熟悉的还是四维流形的几何与拓扑，所以尝试去推广丘成桐先生的Miyaoka-Yau不等式。为此我阅读了一些他与Richard Schoen关于正质量猜想的工作和后来Witten的证明，以及Taubes关于四维的辛流形的Seiberg-Witten不变量与辛几何不变量的工作。那时还读了一些丘先生与Jost关于调和映照与对称空间、肖荫堂先生关于调和映照的一些工作。可惜我能力不足，未能在这些方向有任何成果。我的兴趣和基础还是在超对称Yang-Mllls理论方面。

Atiyah文集第五卷中他与Bott合作的文章The moment map and equivaraint cohomology是我最爱的文章之一。等变上同调是从陈省身先生的Chern-Weil理论中派生出来的，它天然有超对陈的特性，非Abel Yang-Mills理论的量子化中的BRST模式，是其无穷维的版本。Witten在二维Yang-Mills理论中推广了Atiyah-Bott局部化公式，得到了非Abel 局部化公式，由Atiyah的两位女学生给出了数学证明。我努力尝试去理解这些工作，遗憾的是自己仍然没有什么成果。

很幸运地，曹怀东老师给了我第二个博士后工作的机会。他是Ricci流方面的专家，也建议我做这方面的工作，可惜我在这方面毫无基础也无兴趣。非常感谢曹老师的开放与包容，允许我按照自己的兴趣去开展讨论。我几乎每天都会跟他聊很久的数学，这是一种奇妙的工作方式，使我有机会理清很多不成熟的想法，而且迅速地拓展我的工作范围。

我们先是用Atiyah-Bott局部化公式的一个推广Kalkman公式，给出Seiberg-Witten理论中李天军、刘艾克（丘先生的两个学生）的穿墙公式的一个新证明，然后考虑Kalkman公式的非Abel推广。我们将等变上同调看成de Rham上同调的形变，尝试在Kahler几何、辛几何、Poisson几何、切触几何、CR几何中进行各种推广与探索。我们尝试从这个角度去理解弦理论中的镜像对称以及Kontsevich的同调镜像对称，也尝试了DGBV代数与无穷代数。我还学习了Quillen的同伦代数方面的工作，试图从这个角度去理解镜像对称。后来，我意识到，在这一时期的工作所用到的数学工具，特别是数学中的homological perturbation theory, 也有在Yang-Mills理论量子化方面的对应物。

在曹老师那里的聘期快结束时，我在美国找工作很不顺利。我觉得自己数学上已经成熟，可以回国发展。曹老师帮助我去田刚老师那里访问一个学期再回国，由此开启了另一个奇妙的时期。

田老师根据我的背景，建议我从事Gromov-Witten不变量计算方面的研究。实际上，我那时沉迷于范畴与函予以及在范畴上做同伦论，对具体计算比较轻视且无经验。我对镜像对称的物理文献中算出具体的数字并无兴趣，但那时镜像对称的数学工作的基础——等变上同调，可以说是我的最爱。田老师说知己知彼，百战不殆，应该多了解不同人的工作。我找来刘克峰、连文豪、丘成桐的文章，以及Givental的系列文章、Graber与Pandharipande的系列工作开始阅读。以我的能力阅读这些文章比较吃力。刘-连-丘的文章我读了差不多一个学期，临近学期末的时候，连老师请我去做个报告，聊天时他说可以跟我解释一下他们的文章，我回答说，不用了，昨天我刚刚验证完你们文章中最后一个等式，完全弄明白了每一步。之后我病了几天，可见读这篇文章对我消耗之大。另外两组人的文章也读了一些，Graber与Pandharipande的文章对我来说是相对容易一些的。我从此转入Gromov-Witten理论也即超弦理论的数学理论方面的研究，虽然所用工具是局部化，但毕竟看起来与杨先生的工作是远离了。然而我很快发现，我将以另一种方式更加靠近杨先生的工作。

在田刚老师的建议以及他与丘成桐先生的推荐下，我于2001年来到清华大学工作。我在1998年夏天曾随曹老师来清华访问过一段时间，当时访问的是杨先生的高等研究中心。那时他们的办公室在经管学院的办公楼里，数学系办公室在主楼。后来我到清华报到后，惊喜地发现杨先生的高研中心和数学系在同一个办公楼里，甚至过了一段时间，我的办公室换到了挨杨先生办公室很近的一间，他在A217,我在A316。

那时正值清华大学九十年校庆，作为乡野之人，见闻有限，我第一次发现那么多中国科学、文化上的名人与清华有关。我收集了陈省身、华罗庚、杨振宁几位先生的传记和文集开始了解他们的生平故事，受益匪浅。杨先生的文集中有些细节对我震动很大。他的一本书的封面上写着：“我这一生最重要的贡献,是改变了中国人自觉不如人的心理作用”。他在招待所看到毛主席的诗“为有英雄多壮志，敢教日月换新天”，激动得夜不能寐。他听说中国人独立造出原子弹，激动得泪流不止，不得不去卫生间清理。读到这些文字，我对杨先生的尊崇也达到了另外一个层次。

我在清华大学写的第一篇文章是致敬陈省身先生和杨振宁先生的。博士毕业后，我曾经回到石溪分校参加过一个Fields奖获得者Milnor的生日庆祝会议。杨先生在这个会议上做了一个报告，当时主持人介绍杨先生是自牛顿以来四百年最伟大的物理学家。杨先生在报告中介绍了Maxwell方程组的原始形式有二十多个方程，是后人将它们改成了四个方程。我大为震惊，从此养成了阅读大师原作的习惯。我的文章题为《数学和物理中的导数》，介绍从导数到协变导数到规范场论的一些发展历程，其中包括吴大峻-杨振宁字典在数学与理论物理交叉中发挥的作用。因为直接涉及杨先生本人，我发给杨先生请他提供修改意见，所幸他并无异议。写作过程中，我尽可能找到所有的原始文献，包括去查Maxwell文集，验证杨先生所说的故事。此后的教学工作中，我也尽力引导学生阅读原始文献。为了教学，我读过不少Euler，Gauss, Riemann, Ramanujan, Fourier的原始文章，对自己的科研工作有很大帮助，这些都是受了杨先生的影响。

我在清华的研究成果远远超出了我在美国学习工作时所做的，而我与杨先生工作的关系也更为密切。我与合作者刘克峰、刘秋菊、李骏合作建立物理学家提出的拓扑顶点的数学理论。物理学家的目标是建立大统一理论，将以Yang-Mills理论为基础的标准模型与广义相对论统一起来，为此他们发展了超弦理论作为候选理论。虽然杨先生认为超弦理论距离真正的物理理论还有很大的距离，但是超弦理论为不同数学分支的交叉融合起了很大的促进作用，弦理论中很多内容也不可避免地与Yang-Mills理论密切相关。诺贝尔物理学奖获得者Gerard’t Hooft （他的获奖工作建立在Yang-Mills理论的基础上）提出了一种从Yang-Mills理论过渡到弦理论的方法：大N展开。在此基础上，另一个诺贝物理奖获得者Gross（他的获奖工作也建立在Yang-Mills理论的基础上，他是Witten的老师）与Taylor研究了二维Yang-Mills理论的大N展开。Maldacena研究了四维Ynag-Mills理论的大N展开，提出了AdS/CFT对应，其文章目前有超过两万五千次引用。Witten研究了三维规范场论，即Chern-Simons理论的大N对偶，因为Chern-Simons理论对应的是三维流形和扭结的不变量，后者通过Witten和Reshetikin-Turaev的工作，建立在Yang-Baxter方程和量子群的基础上，与Fields奖获得者Jones的工作有关。Witten论证其大N展开为三维流形的余切丛的开弦不变量，当三维流形是三维球面时，其余切丛是一个特殊的Calabi-丘三维流形。Gopakuma和Vafa论证，经过代数几何中conifold transition，可以对应于变换过的Calabi-丘三维流形的闭弦不变量。很快这被物理学家发展成了一种通过Chern-Simons不变量的大N展开计算更多三维Calabi-丘三维流形的闭弦不变量的方法。物理学家的闭弦不变量是数学上的Gromov-Witten不变量。我看出了物理学家的结果与我熟悉的局部化方法计算Gromov-Witten不变量的关系，提出了所谓自由场实现的想法。很快，物理学家将其推广后提出了拓扑顶点的方法，我也很快与合作者们建立了相应的数学理论。弦论学家也尝试从弦理论回到Yang-Mills理论，为此他们提出了所谓几何工程的想法。我证明了实现这些想法的一些数学结论。

二十多年前的那段时光，对我来说如梦幻一般。我不知道是否是因为有机会再一次靠近杨先生给了我很大的动力。我很荣幸有机会在高研中心做了一次报告，向杨先生汇报了相关的工作。

那些工作完成之后，我总结了一下，它们与三位伟大的中国科学家有关：陈省身、杨振宁、丘成桐。陈先生的工作我挑出陈类与Chern-Weil理论、Chern-Simons理论两项；杨先生的工作我挑出Yang-Mills理论、Yang-Baxter方程两项；丘先生的工作我挑出Calabi猜想的证明、正质量猜想的证明两项。我觉得我和合作者们的工作，证明了这六项杰作中，除了正质量猜想以外，其他五项都是相互关联的。我希望将第六项也加入到这个拼图之中，但是无从下手。弦论学家Strominger和Vafa从弦论的角度研究黑洞的Bekenstein-Hawking熵，我觉得可以从这里入手。熵是统计物理中的概念，这让我想起杨先生在统计物理方面的工作。我完全不了解统计物理，数学方面我对概率统计也不甚熟悉。因此我开始花不少的时间精力学习统计学中的信息几何以及相关的微分几何中的Hessian几何，意外地发现丘成桐先生的工作在几何中无处不在。我自己也发现即使在开普勒问题这样的经典物理体系中，Calabi-丘流形也会冒出来。简言之，我在杨先生的高研中心参加了无数次的午餐会、吃了很多盒饭以后，慢慢开始尝试将统计物理思想引入 Gromov-Witten理论的研究，开展所谓涌现几何的研究。我下一阶段的工作，计划把在拓扑弦理论中使用统计物理思想的方法应用到超对称Yang-Mills理论中去。

杨先生对我的另一个影响，与他很喜欢王竹溪、郭敦仁先生合著的《特殊函数论》有关。我第一次正式去见丘成桐先生，向他介绍我的工作并请他为我写求职推荐信时，他第一句话就问“你做的东西里面有没有超几何级数？”，我当时茫然不知所对。回清华以后，受杨先生影响，买了王、郭二位先生的专著时常翻看，二十多年以后，超几何级数终于在我的工作中自然出现了。

我在清华工作的二十几年，受杨先生的影响是多方位的。我上课时常向同学们介绍我看到的杨先生喜欢的诗句，或者他提出的做学问的原则，或者从他的量子力学课堂上学来的Dirac扳手实验。我从他那里也学到“独抒性灵，不拘格套，非从自己胸臆流出，不肯下笔”的态度，这成为了我科研工作的指导原则。

回想我与杨先生的直接接触，好像仅有三次。一次是他约我去他办公室谈话，询问了我系有哪些教师的工作与物理相关；一次是邀请我去高研中心做了一个报告；还有一次是高研中心拟引进一位数学物理方向的数学家，杨先生和聂华桐先生约我餐叙，我介绍说这位数学家的工作都是开创性的，是我们这个方向的创始人。

杨先生始终关心清华数学的发展，长期希望在高研中心引进华人中青年数学家。我能到清华工作，正是得益于此。事实上，我后来知道，因为中心曾想引进一位著名数学家，后者希望同时我能去数学系工作，方便开展工作，所以我才能顺利来到清华工作，尽管那时我并没有什么特别的成果。

伟人已逝，思之哀哉！所谓大师，未必直接教导他人。我是在小山坡上漫游长大的乡野之人，从小的梦想就是做一个游吟诗人，个人见识与能力都极为有限。所幸一路走来，有杨先生这样的伟人如灯塔般的指引，才不至于一无所成。灯塔不必知道旅行者的存在，然而旅行者永远不会忘记灯塔光辉的照耀！