数学科学系

Department of Mathematical Sciences

课程题目: 计数组合及应用 Enumerative Combinatorics and Applications

时间:59--622日,每周二晚19:00-20:30,每周四下午13:30-15:00

地点:理科楼数学系A404

课程简介: 本课程介绍计数组合学的方法及应用。不同于传统的组合课程,这里重点介绍最近三十年来兴起的双射理论,并通过大量例子示范如何高效率地解决各种计数问题。其中既包括有关排列,整数的分拆,树等传统计数问题;也涉及到对称函数,行列式,连分式,杨表等这样一些现在非常流行的研究课题.

This course is designed to show some methods and application in Enumerative Combinatorics. In contrast to traditional course on Combinatorics, I will focus on the bijective theory, a rising field of study since the last thirty years ; and show how to solve counting problems efficiently by discussing several examples. Its contain not only traditional counting problems for permutations, integer partitions and trees ; but also some modern research topics like symmetric functions, determinant evaluations, continued fractions and Young tableaux.

Han_CV.PDF

 

 

教学大纲

第一章:计数组合学基础 10学时)

这一章介绍本课程所需的基本知识, 主要包括 计数问题简介, 形式幂级数,生成函数(又称母函数),排列,对称群,递推关系,双射理论简介,

整数的分拆,树的计数,经典数列的组合表达,Catalan数, Stirling数。

第二章:统计等分布问题(6学时)

统计等分布问题是计数组合学中的一个重要研究方向。本章介绍统计等分布问题的观察,提出,和解决方法。本课程通过一些具体例子来重点讲述用双射理论解决等分布问题。这些例子包括一些经典的等分布问题,同时也会介绍一些近年的科研成果。本章也会涉及到多维等分布问题。

第三章:对称函数(8学时)

这部分内容包括对称函数, 重点是Schur函数, 它可以由行列式来定义,也可以用杨表来定义。Schur函数具有的一些非常漂亮的性质及应用,

对此我们将会给出行列式计算和组合模型两种解释. 本章也会介绍几个平面分拆的公式及证明。

第四章:行列式计算(8学时)

本章讲述行列式计算的高级技术,可以看作是计数组合学的一个重要应用。对于一个固定维数的具体的行列式,我们可以根据定义和各种性质来求它的值,这不是本课程所关心的问题。本课程所研究的行列式的维数是不固定的参数。主要介绍LindstromGesselViennot

定理以及如何运用这个定理来计算行列式。这个方法非常有效,近年来许多最新科研成果都使用了这个工具.

主要教材: 自编讲义

预备知识: 线性代数(矩阵,行列式)和数学分析(导数微积分,泰勒展开)

参考文献:

[1] Stanley, Richard P., Enumerative Combinatorics, vol. 1, Cambridge university press, 1997

[2] Stanley, Richard P., Enumerative Combinatorics, vol. 2, Cambridge university press, 1999